[개념 정리] WassersteinGAN

WassersteinGAN Math

다음 슬라이드를 참고한 포스트입니다.

링크

Metric (Distance)

• 특징
  • 𝒅(𝑥, 𝑦) ≥ 0
  • 𝒅(𝑥, 𝑦) = 0 ⟷ x = y
  • 𝒅(𝑥, 𝑦) = 𝒅(𝑦, 𝑥) → x, y는 대칭
  • 𝒅(𝑥, 𝑧) ≤ 𝒅(𝑥, 𝑦) + 𝒅(𝑦, 𝑧)
• 공간 별 metric
  • 실수공간 ℝ, 복소공간 ℂ : |𝑥 - 𝑦|
  • 유클리드 공간 ℝn : 유클리드 거리 √(∑|𝑥 - 𝑦|²)
    • 맨헤튼 거리 : ∑|𝑥 - 𝑦|
  • 힐베르트 공간 : 내적 𝒅(𝑢, 𝑣) = √((𝑢, 𝑣) ∙ (𝑢, 𝑣))
  • 함수 공간(L1공간 L2공간)
• 수렴을 정의하기 위해 Metric 개념이 중요

  • 𝑥n ⇒ 𝑥 ⟺ 𝓁𝒾𝓂 𝒅(𝑥n, 𝑥) = 0

  • fn과 f의 차를 제곱하여 적분한 값(L2거리)이 0으로 수렴 → L2수렴

    • 

  • fn이 모든 𝑥에 대해 𝟄범위 안에 들어오면서 수렴 (L∞거리) → L∞수렴 or 균등 수렴 (uniformly converge)

    • 𝟄범위 벗어나면 측도 수렴 (converge in measure)

    • 

⇨ 거리함수가 바뀌면 수렴의 방식이 바뀜

• 수렴간의 비교
  • 𝒅₁-수렴이 𝒅₂수렴보다 강하다 (𝒅₁ is stronger than 𝒅₂)
    • 𝒅₁(𝑥, 𝑦) → 0 ⇒ 𝒅₂(𝑥, 𝑦) → 0
  • 거꾸로 성립 : 약하다 (weaker)
  • 양방향 성립 : 동등하다 (equivalent)
    • 유클리드 거리 and 맨헤튼 거리
  • 공간마다 차이 때문에 항상 비교 가능한건 아님
• 유한 측도를 가진 공간에서는 다음이 성립
  • L∞ ⇒ L2 ⇒ 측도 수렴 (converge in measure)
• WassersteinGAN에서는 확률분포 공간에서의 Wasserstein distance를 다룸

Compact metric set

Compact란?

• compact 집합을 가져온 이유
  • 연속함수들이 항상 최대 최소를 가짐 (최대 최소의 정리)
  • 모든 확률변수 𝑿에 대해 조건부 확률분포가 정의
  • 완비공간이다 (Complete space)
• 확률 측도 = 확률 분포

Different Distance (Metrics)

Total Variation (TV)

• 두 확률측도의 측정값이 벌어질 수 있는 값들 중 가장 큰 값 !

• 만약 교집합이 ∅ 이면, TV = 1

Kullback-Leibler divergence

• metric의 특징(대칭성, 삼각부등식)이 성립 X
  • 그래도 사용가능
• stronger than TV
• 𝛳 ≠ 0 → ㏒ = ∞ → KL = ∞ (발산)

Jensen-Shanonon divergence

• Equivalent with TV
• 𝛳 ≠ 0 → JS = ㏒2
• ㏒2 로 고정되어서 얼마나 먼지 모름

TV, KL, JS는 두 확률분포가 다른 영역에서 측정된 경우 완전히 다르다 라고 판단 ⇨ GAN에서 Discrimitor의 학습이 죽는 원인

즉, 유연하면서 수렴에 Focus가 집중된 metric이 필요

EM distance or Wasserstein distance

• 𝛱(P, Q) : P, Q의 결합확률분포
• 모든 결합 확률분포 중 𝒅(𝑥, 𝑦)의 기댓값 중 하한값

• 𝔼(𝒅(𝑥, 𝑦)) ≥ |𝛳|
• 𝑍₁ = 𝑍₂ → 𝒅(𝑥, 𝑦) = |𝛳|
• 즉, 𝑊 = |𝛳|

EM distance와 JS divergence 비교